Q6.8 SCRIVONO GLI ASSOCIATI

I NUMERI IRRAZIONALI

La lettura del libro “IL SERPENTE CELESTE” di John Anthony West di cui abbiamo riportato il commento della parte riguardante la conoscenza dei numeri irrazionali da parte degli antichi Egizi, ci ha stimolato e indotto a parlare di questi numeri con riferimento al p greco e al phi o sezione aurea.  Cercheremo di renderne il significato comprensibile come possiamo fare noi che non siamo dei matematici. Per trattare l’argomento ricorriamo a quanto scritto in merito da Mario Livio nel suo libro (₁)  LA SEZIONE AUREA con il sottotitolo “Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni”.

Abbiamo visto come Schwaller, nel suo libro Le temple d l’Homme (il tempio dell’uomo), sostiene che gli antichi Egizi conoscevano il pi greco e il phi o sezione aurea e l’esistenza dei numeri irrazionali, famiglia a cui i due numeri appartengono, ed avevano, quindi, conoscenza delle leggi armoniche e proporzionali, delle quali i due numeri sono alla base.

Prima di tutto ricordiamo la definizione di numeri irrazionali.

L’esistenza dei numeri irrazionali implica quella dei numeri razionali. Quali sono i numeri definiti razionali? I numeri razionali sono i numeri (interi) per antonomasia (1, 2, 3 …) e i rapporti tra gli interi (1\2, 2\3…). Si sa che le frazioni di numeri interi danno origine a numeri decimali finiti (1\2 = 0,5) o  che si prolungano indefinitamente con ripetizioni o schemi (1/3 = 0,3333..).

Dei numeri irrazionali quello noto ai più è il p greco. Questo numero è il rapporto tra la lunghezza della circonferenza di un cerchio e il suo diametro. Significa che in qualsiasi cerchio il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e quella del suo diametro è costante ed uguale a 3,14159…, un numero interminabile con infinite cifre decimali prive di sequenza, a differenza di altri numeri decimali generati da frazioni di numeri interi che, abbiano detto, sono compresi tra i numeri razionali.

A chi ha frequentato studi di scuola media, soprattutto superiore, sono note le varie applicazioni del p greco nella geometria. Non serve quindi dilungarsi.

Meno noto è sicuramente l’altro numero irrazionale phi o sezione aurea, che i matematici usano chiamare anche “numero aureo” o “rapporto aureo”, della cui esistenza viene fatto un fugace cenno nei libri in uso nelle scuole medie superiori, tanto che per i più l’espressione “sezione aurea”, sentita pronunciare o spiegare a scuola, è rimasto solo un vago ricordo.

Il valore di questo numero è uguale a 1,6180339887… che, come il p greco, ha infinite cifre decimali prive di sequenze ripetitive.

Mentre è semplice la rappresentazione geometrica del p greco, lo è meno quella del phi.

Come definire il phi o sezione aurea.

A definire per primo il rapporto, che poi sarebbe stato chiamato “aureo”, fu Euclide, il matematico greco che insegnò al “Museo”, una specie di università che comprendeva la Biblioteca di Alessandria d’Egitto, fondato da Tolomeo I dopo la morte di Alessandro Magno.

Euclide formulò la seguente definizione:

Si può dire che una linea retta sia stata divisa secondo la proporzione estrema e media quando l’intera linea sta alla parte maggiore come la maggiore sta alla minore”.

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A                                                        C                            B

Quindi Euclide chiamò “proporzione estrema e media” la divisione della linea retta nelle due parti di diversa lunghezza, cioè secondo il suo rapporto poi definito “aureo”.

Cerchiamo di darne una definizione più comprensibile per chi non è sufficientemente esperto:

“in una qualsiasi linea (segmento) che indichiamo con A e B nei suoi punti estremi, vi è un punto intermedio C che divide la linea in due segmenti di diversa lunghezza, tali che il rapporto tra la lunghezza della linea intera e il segmento maggiore, è uguale al rapporto fra lunghezza del segmento maggiore e quella del segmento minore”.

Rappresentiamo graficamente la definizione:

E quindi la proporzione descritta nella definizione è la seguente:

AB : AC = AC : CB

Che si legge: AB sta a AC come AC sta a CB

Oppure

AB diviso AC è uguale a AC diviso CB,

o ancora:

il rapporto fra AB e AC è uguale al rapporto fra AC e CB

Fino qui nulla di particolare. Ma questo rapporto ha un valore che varia da caso a caso oppure è fisso? La scoperta degli antichi matematici è stata che, come per il caso del p greco, quel rapporto è fisso, cioè valido in linee di qualsiasi lunghezza e il rapporto è uguale a 1,6180339887…, dato dalla seguente formula (1 più radice quadrata di 5 tutto fratto 2),  ed è stato chiamato phi.

Per i più esperti di nozioni matematiche riportiamo in appendice lo sviluppo matematico che porta alla valorizzazione del phi.

Scrive Mario Livio: <<Il fatto che la sezione aurea non si possa esprimere per il mezzo di una frazione (cioè come “numero razionale”) significa semplicemente che è impossibile trovare due numeri interi il cui rapporto corrisponda esattamente al rapporto delle lunghezze AC e CB…Dal punto di vista geometrico, trovare due numeri del genere significherebbe trovare un segmento che, poniamo, sia contenuto esattamente trentuno volte in AC e diciannove volte in CB. Ma per quanto cercassimo, un segmento con questa proprietà non potremmo trovarlo. Quando, come in questo caso, due lunghezze non sono multipli interi di un’unità di misura comune, sono dette “incommensurabili”>>

Abbiamo visto che la data della scoperta di questo numero non è nota, soprattutto, se si ammette con Schwaller, se era conosciuto dagli Egizi. Gli storici tendono ad attribuirla a Pitagora e ai pitagorici nel V secolo a.C. Per il significato che questa “setta” attribuiva ai numeri, sembra che la scoperta del phi abbia rappresentato un evento angoscioso in quanto sarebbe stato ritenuto una imperfezione cosmica da tenere il più possibile nascosta.

Ma questa può essere solo una leggenda.

Il numero aureo phi ha interessato matematici di ogni epoca e non solo matematici.

Ma perché tanto interesse?

Il fascino che ha sempre destato la sezione aurea è dovuto al fatto che la si incontra spesso in natura. Scrive Mario Livio: “Si prenda la comunissima mela – associata (probabilmente in modo ingiustificato) all’albero della conoscenza che il rapporto biblico collega al peccato originale – e la si tagli da parte a parte: constateremo che i semi sono disposti in modo da formare una stella a cinque punte, o pentagono stellato o pentagramma. Ebbene, in ciascuno dei cinque triangoli isosceli che formano le punte del pentagramma il rapporto della lunghezza di uno dei lati con la base (implicita) è uguale alla sezione aurea”. Molti altri sono i casi presenti in natura, ne citiamo qualcuno: i petali della rosa sono disposti secondo la regola basata sul rapporto aureo; nel regno animale è il caso la conchiglia a spirale dei molluschi, in particolare del genere Nautilus.

Fuori dal mondo della natura, il rapporto aureo si ritrova in molte opere dell’uomo, come la rampa a spirale del museo Guggenheim di New York, realizzata secondo la struttura del nautilo; nelle dimensioni del quadro di Salvador Dalì Il Sacramento dell’Ultima Cena. Ma il caso più importante è quello del dodecaedro, un solido a dodici facce ciascuna delle quali è un pentagono regolare, strettamente legato al rapporto aureo.

Scrive ancora Mario Livio: “ il rapporto aureo compare (o si dice che compaia) nelle opere di altri grandi artisti, architetti e progettisti, e perfino in molte celebri composizioni musicali. In generale, il rapporto aureo è stato usato in alcune di queste opere per aumentarne, per così dire, l’”efficacia” (visiva o acustica).

Una delle proprietà che contribuiscono alla riuscita estetica di un’opera è il suo essere “proporzionata” – l’armonia del rapporto quantitativo sia delle parti tra loro, sia delle parti col tutto.”

Non possiamo certo essere noi a concludere con delle certezze. Il nostro intento è solo quello di ricordare a quei lettori che hanno avuto l’occasione di incontrare questo numero, magari nel corso dei loro studi scolastici, o creare curiosità in chi non ha mai sentito parlare di numeri irrazionali e in particolare della “sezione aurea” o “numero aureo” o “rapporto aureo”.

 

(₁) LA SEZIONE AUREA – Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni  -  Editrice RIZZOLI

Mario Livio: astrofisico, dirige il dipartimento scientifico dell’Istituto del Telescopio spaziale Hubble. Vice a Baltimora, nel Maryland.